Saltar al contenido
Math Sheet Studio
GeneradorHojas por gradoPara imprimirBlogPrecios
GeneradorHojas por gradoPara imprimirBlogPrecios
Math Sheet Studio

Hojas de matemáticas imprimibles que puedes corregir pregunta por pregunta.

Producto

GeneradorPreciosTodos los temasPor estándar Common CoreBlog

Hojas de ejercicios

Educación infantilGrado 1Grado 2Grado 3Grado 4Grado 5Grado 6Grado 7Grado 8Álgebra 1GeometríaÁlgebra 2Cálculo

Empresa

ContactoPrivacidadTérminos
© 2026 Math Sheet StudioPrivacidad · Términos
Hojas de ejercicios›Cálculo›Aplicaciones de la derivada›Razones de cambio relacionadas

Hojas de razones de cambio relacionadas

Hojas imprimibles y gratuitas con clave de respuestas. Elige un nivel, mira las preguntas y abre la hoja para cambiar o eliminar cualquier pregunta.

CálculoClave de respuestas incluidaPDF · Imprimir
Abrir en el generadorEmpezar con una hoja fácil

Fácil: Cuadrados

  1. 1.El lado de un cuadrado crece a 1 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 3 cm?
  2. 2.El lado de un cuadrado crece a 3 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 9 cm?
  3. 3.El lado de un cuadrado crece a 4 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 9 cm?
  4. 4.El lado de un cuadrado crece a 2 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 12 cm?
  5. 5.El lado de un cuadrado crece a 2 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 3 cm?
  6. 6.El lado de un cuadrado crece a 4 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 8 cm?
La vista previa muestra 6 de 12 preguntas. Cada hoja es nueva; ábrela para cambiar cualquier pregunta.

Variaciones de la hoja

Escribe la fórmula que relaciona las cantidades y deriva los dos lados respecto al tiempo t, aplicando la regla de la cadena a cada variable que cambia. Sustituye los valores del momento pedido solo después de derivar y despeja el ritmo desconocido.

FácilEl lado de un cuadrado crece a 4 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 5 cm?CuadradosMedioEl radio de un círculo crece a 2 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el radio mide 12 cm?CírculosDifícilEl radio de una esfera crece a 5 cm/s. ¿A qué ritmo crece su volumen cuando el radio mide 9 cm?Esferas

Cómo resolverlo: un ejemplo paso a paso

Halla el ritmo de cambio. Da las respuestas con π en función de π.

  1. InicioEl lado de un cuadrado crece a 5 cm/s. ¿A qué ritmo crece su área cuando el lado mide 9 cm?
  2. Área de un cuadradoA = s2
  3. Deriva respecto a tdAdt = 2s dsdt
  4. SustituyedAdt = 2(9)(5) = 90
  5. Respuesta90 cm2/s

Errores comunes que conviene vigilar

  • Sustituir el valor actual antes de derivar.
  • Olvidar el factor dr/dt de la regla de la cadena.
  • Usar la fórmula del área para una pregunta de perímetro o al revés.

Consejo: marca «Clave de respuestas paso a paso» en el generador para imprimir cada paso y facilitar la corrección.

Hojas relacionadas

Puntos críticos, extremos e intervalos de crecimientoPosición, velocidad y aceleraciónProblemas de optimizaciónConcavidad y puntos de inflexiónLímites por sustitución directa

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se sustituyen los números?

Después de derivar. Si sustituyes el radio antes de derivar, se convierte en una constante y se pierde su tasa de cambio.

¿Por qué dA/dt incluye dr/dt?

Tanto A como r dependen del tiempo, así que al derivar A = πr² respecto a t se usa la regla de la cadena: dA/dt = 2πr · dr/dt.

¿Cada hoja es distinta?

Sí. Los números se generan cada vez y la clave de respuestas se calcula para esa hoja. Si cambias una pregunta, su respuesta también se actualiza.

¿Puedo mezclar razones de cambio relacionadas con otras habilidades?

Sí. En el generador, añade más habilidades; cada una tiene su propia sección en la hoja con sus propias instrucciones.

¿Es gratis imprimir?

Sí. Generar e imprimir desde el navegador es gratis y sin registro. Las descargas de PDF requieren una cuenta gratuita.