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练习卷›微积分›积分›旋转体的体积(圆盘法)

旋转体的体积(圆盘法)练习卷

免费的可打印练习卷,含答案。选择难度,预览题目,然后打开练习卷替换或删除任意一道题。

微积分含答案PDF · 打印
在生成器中打开从简单的练习卷开始

简单: 直线 y = kx

  1. 1.求曲线 y === xxx 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 444 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  2. 2.求曲线 y === xxx 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 222 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  3. 3.求曲线 y === 4x4x4x 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 222 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  4. 4.求曲线 y === xxx 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 333 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  5. 5.求曲线 y === 3x3x3x 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 333 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  6. 6.求曲线 y === 2x2x2x 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 444 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
预览显示 12 道题中的 6 道。每张练习卷都是新的;打开后可修改任意一道题。

练习卷变体

把立体沿 x 轴垂直切成很薄的圆盘。x 处圆盘的半径为 f(x),面积为 π[f(x)]²。把所有圆盘相加就是积分:V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx。先平方,计算会简单很多,因为 [√x]² = x,[kx]² = k²x²。

简单求曲线 y === 2x2x2x 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 333 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。直线 y = kx中等求曲线 y === 3x23x^{2}3x2 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 111 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。抛物线 y = kx²困难求曲线 y === x\sqrt{x}x​ 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 555 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。平方根曲线 y = k√x

解题方法:详解例题

求每个立体的体积。答案用 π 表示。

  1. 开始求曲线 y === 4x4x4x 在 000 ≤\le ≤ x ≤\le ≤ 333 之间的部分绕 x 轴旋转所成立体的体积,答案用 π 表示。
  2. 每个圆盘的面积是 π 乘以半径的平方VVV === π∫03\text{π}\int _{0}^{3}π∫03​ (4x)2 dx(4x)^{2}\text{ dx}(4x)2 dx
  3. 积分,并代入上下限144π144\text{π}144π
  4. 答案144π144\text{π}144π

需要留意的常见错误

  • 对 f(x) 积分而不是 [f(x)]²,忘了把半径平方。
  • 漏掉因子 π。
  • 把 (kx)² 写成 kx²,漏掉了 k 的平方。

提示:在生成器中勾选“分步答案”,即可打印每一步以便批改。

相关练习卷

不定积分(原函数)定积分换元积分法曲线之间的面积黎曼和与梯形法则

常见问题

为什么要把函数平方?

圆盘的面积是 π 乘以半径的平方,而半径就是函数值 f(x)。所以每个圆盘的面积是 π[f(x)]²。

为什么答案要用 π 表示?

每个圆盘的面积都含有 π,积分后这个因子保留下来。应保留 π,而不要换成小数。

每张练习卷都不一样吗?

是的。每次都会生成新的数字,答案也是针对该练习卷计算的。替换任意一道题,它的答案也会更新。

可以把旋转体的体积(圆盘法)和其他练习内容组合在一张卷子里吗?

可以。在生成器中选择更多练习内容;每个练习项独立成区,并有各自的说明。

打印免费吗?

免费。从浏览器生成和打印无需注册。下载 PDF 需要免费账户。